物理学への応用を念頭において、微分幾何学とトポロジーの基礎を学ぶ。
例えばベリー接続など、本来は微分幾何学の対象であった接続の概念は、今後ますます自然科学や科学技術全般の中に浸透していくことが予想される。接続の概念を最も素朴な３次元空間中の曲面論の中で感覚的に自然に理解することが、本講義の最大の目的である。主題： 微分幾何とトポロジー 接続とリーマン幾何入門 1. 平面曲線と空間曲線
平面曲線 弧長、曲率の定義 曲率の幾何学的意味 例 楕円
曲率の任意変数の公式、ガウス表示、閉曲線の回転数
空間曲線 曲率 捩れ率 Frenet-Serret の公式 例 常螺旋
曲線に沿った質点の運動 向心力の導出 2. 空間曲面の小域的理論
空間曲面の二変数表示の例 球面、回転放物面、輪環面（トーラス）
第一基本形式 接平面上の接ベクトルの長さを与える
第二基本形式 曲面の臨界値近くの形状（ヘッセ行列）
曲面上の曲線の曲率： 測地的曲率と法曲率
微分についての注意 （高木貞治「解析概論第２章」より） 3. ガウス曲率と平均曲率 曲面の曲がり具合を表す一つの指標
主曲率： 曲面上の点を通る曲線の法曲率の極値
ガウス曲率の幾何学的意味 ガウスの球面表示
平均曲率の幾何学的意味 極小曲面
Christoffel 記号の導入 4. 正規直交標構を用いる方法（２章４節）と接続
接続形式の導入
共変微分と平行移動（３章４節）
例： 球面上のベクトルの平行移動
コリオリ力やフーコーの振り子、緯線に沿ったベクトルの平行移動 5. 測地線（3 章5 節）
測地線の定義： 測地的曲率ベクトルと法曲率ベクトル
測地線の例： 大円（球面上の測地線）、円筒面や輪環面上の測地線
測地線の方程式
最短線としての測地線 （3 章６節）
変分原理 （仮想仕事の原理、 最小作用の原理） 6. ２変数の微分形式（２章５節）
ベクトル解析の微分演算（発散、回転）を微分形式で表す
微分形式を使う方法（２章６節） 第一構造式、第二構造式 7. 曲面上の幾何（３章）
リーマン計量
曲面の構造方程式（３章２節）
ガウスの驚くべき定理 8. 微分形式の積分と一般化ストークスの定理（４章１節）
Gauss-Bonnet の定理 境界のある領域の場合 9. Gauss-Bonnet の定理 閉曲面の場合
オイラー数、曲面の種数(genus) 10. 特殊相対性理論の基礎 （相対性理論の１章と２章）
光速度不変の原理、ローレンツ変換
反変ベクトル、 共変ベクトル
四元ベクトル、固有時間 11. 一般相対性理論の基礎
一般共変性の要請 慣性力（コリオリ力や遠心力）と真の力
等価原理 12. リーマン幾何入門
計量テンソル、共変微分（接続）、ベクトルの平行移動（再登場）
リーマンの曲率テンソル 13. 重力場の方程式
運動の軌跡としての測地線 （Christoffel 記号と接続形式の関係）
アインシュタイン方程式 |
